Il arrive parfois qu’un nombre s’écrive de manière très condensée mais que le nombre de chiffres qui le compose soit très grand.
Par exemple, le nombre \(9^{8^7}\) ne s’affiche même pas avec Xcas… tellement le nombre de chiffres qui le composent est grand. Mais comment savoir ce nombre de chiffres ?
En base décimale
Notons:$$N=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times10^k.$$
Ce nombre est composé de \(n\) chiffres : \(a_0,\ a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{n-1}\). On l’écrit:$$N=\overline{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1a_0}^{10}.$$Un nombre à \(n\) chiffres est nécessairement compris entre \(10^{n-1}\) et \(10^n\), donc:$$10^{n-1}\leq N < 10^n.$$En composant par le logarithme décimal, on obtient l’encadrement:$$\log(10^{n-1}) \leq \log(N) < \log(10^n),$$soit:$$(n-1)\log(10)\leq\log(N)<n\log(10).$$Or, par définition, \(\log(10)=1\) d’où finalement:$$n-1\leq\log(N)<n.$$On en déduit alors que \(n\) est l’entier immédiatement supérieur (ou égal) à \(\log(N)\).
Par exemple, $$\log\left(9^{8^7}\right)=8^7\log(9)\approx4607913,91681$$ donc le nombre de chiffres de \(9^{8^7}\) est 4607914.
En binaire
Le principe est le même. On considère un nombre:$$N=\overline{a_{n-1}\cdots a_1a_0}^{2}=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\times2^k\,,\,\ a_{n-1}\neq0.$$Alors, pour \(N\) exprimé en décimal, $$2^{n-1} \leq N< 2^n$$ soit: $$\frac{\ln(2^{n-1})}{\ln2} \leq \frac{\ln(N)}{\ln2} < \frac{\ln(2^n)}{\ln2},$$ d’où: $$n-1 \leq \frac{\ln(N)}{\ln2} < n.$$ Ainsi, le nombre \(n\) de chiffres (en binaire) du nombre \(N\) est-il égal à l’entier immédiatement supérieur (ou égal) à \( \frac{\ln(N)}{\ln2} \).
Par exemple, \( \overline{1101}^{2}=\overline{13}^{10}\), et \( ENT\left( \frac{\ln(13)}{\ln2}\right)+1 =4\). Il y a bien 4 chiffres dans le nombre binaire correspondant à 13 (en base décimale).
Généralités
On peut bien entendu généraliser cette formule en disant que si \(N\) est un nombre décimal alors le nombre de chiffres du nombre en base \(a\) correspondant est égal à:$$n=ENT\left(\frac{\ln(N)}{\ln(a)}\right)+1.$$
Bonjour,
Pourriez-vous essayer avec 999, 1000 et 1001.
Pour 1000 j’obtiens 3.
Merci.
BB
Pour N=999, ENT(ln(n)/ln(10)) = ENT(2.99956548823) = 2. Donc, cela donne 3 (en ajoutant 1). Et 999 a bien 3 chiffres.
Pour N=1000, ENT(ln(n)/ln(10)) = ENT(3) = 3. Donc, cela donne 4 (en ajoutant 1). Et 1000 a bien 4 chiffres.
Pour N=1001, ENT(ln(n)/ln(10)) = ENT(3.00043407748) = 3. Donc, cela donne 4 (en ajoutant 1). Et 1001 a bien 4 chiffres.
Attention à ne pas confondre ENT(x) [partie entière de x] et ROUND(x) [arrondi de x].
Il y a une erreur de calcul dans 8^7*log(9), vous avez dû utiliser le logarithme népérien au lieu du décimal, par inadvertance.
En effet, j’utilise Xcas, et sous Xcas, “log” est le logarithme naturel et non décimal… Merci! J’ai rectifié l’erreur.