Section d’un cube par un plan défini par 3 points sur différentes faces

Nous allons voir dans cet article comment trouver la section d’un cube par un plan quand on connaît 3 points sur 3 arêtes de ce cube, chacun des points n’étant pas sur une face où se trouve l’un des deux autres.

Étape 1 : on projette orthogonalement un point sur l’arête parallèle à celle où il se trouve et contenue dans une face où se trouve l’un des deux autres points.

Ici, on va projeter le point J sur [BF] car [BF] est contenue dans une face où se trouve K. On obtient un point que l’on nomme \(P_1\).

Étape 2 : on trace un triangle passant par le sommet opposé à la face contenant le point choisi et son projeté.

Ici, on trace \((AP_1)\) et \((IJ)\). Elles sont coplanaires et non parallèles donc se coupent en un point \(P_2\).

Étape 4 : on trouve enfin un point qui appartient à la section cherchée.

Les points K et \(P_2\) appartiennent à la même face (ABFE) donc la droite \((KP_2)\) coupe l’arête [AE] (car elles ne sont pas parallèles). On obtient alors le point \(P_3\).

On a ainsi l’intersection des plans (IJK) et (ADHE):

ainsi que celle des plans (IJK) et (ABFE):

Étape 5 : on trace des parallèles

On trace maintenant la droite parallèle à \((KP_3)\) passant par J : elle coupe l’arête [DC] en \(P_4\):

On trace ensuite \([IP_4]\) qui est un autre côté de la section cherchée:

Puis la parallèle à \((IP_3)\) passant par J, qui coupe [GF] en \(P_5\):

On trace enfin \([KP_5]\) qui ferme la section cherchée:

La section du cube par le plan (IJK) est le polygone \(KP_5JP_4IP_3\):