Regardez cette animation :
N’est-elle pas belle ?
Outre le fait qu’elle soit pas trop moche, elle est lourde de sens… Explications demandées !
Définition du nombre dérivé
On considère une fonction f dont la courbe représentative est notée \(C_f\). On prend alors un point A (d’abscisse a) sur cette courbe, donc de coordonnées (a ; f(a)).
Maintenant, prenons un point M sur cette même courbe qui a une abscisse x variable. On fait donc bouger M sur la courbe. Si on observe la droite (AM) quand M se rapproche de A, on constate qu’elle se rapproche d’une position bien particulière : on arrive presque à une droite qui frôle la courbe. On appelle cette droite la tangente à la courbe au point A.
Maintenant, si on regarde le coefficient directeur de (AM), on a: $$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}$$ d’après la formule vue en Seconde, ce qui donne:$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$Ainsi, d’après l’observation graphique faite précédemment, on peut dire que ce nombre se rapproche du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A. Et bien, c’est ce nombre que l’on va définir comme le nombre dérivé de f en a, et on va le noter f’(a). On note alors:$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).$$
On peut aussi voir les choses légèrement différemment : si on note h = x – a, c’est-à-dire l’écart entre x et a (sans valeur absolue, on dit que l’écart est relatif) alors si x se rapproche de a, cela signifie que h se rapproche de 0. De plus, on peut écrire x = a + h et la définition du nombre dérivé devient alors:$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0.$$
En 1ère spécialité Math, on utilise plutôt la deuxième écriture. Cependant, en Terminale, la première écriture est assez utile pour calculer certaines limites de fonctions.
Un exemple pour calculer un nombre dérivé
Prenons la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) et déterminons son nombre dérivé en a = 2. Pour cela, on commence par exprimer en fonction de h et a le taux d’accroissement en a, c’est-à-dire le coefficient directeur de la droite (AM) que l’on a vue dans l’animation précédente.
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2}{h}$$
L’idée est de trouver vers quel nombre se rapproche ce quotient. Malheureusement, en l’état, on ne peut pas car le numérateur se rapproche de 0 et il en est de même pour le dénominateur… Et on ne sait pas vers quel nombre se rapproche une fraction qui elle-même se rapproche de “\(\frac{0}{0}\)” (les guillemets sont importants car bien sûr, cette fraction n’existe pas). On dit que c’est une indétermination. Il faut donc la lever. Pour cela, nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur du quotient par l’expression conjuguée du numérateur (c’est-à-dire que l’on multiplie par la même chose en remplaçant le signe du milieu par son opposé). On obtient alors:$$ \begin{align*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt2}{h}\times\frac{\sqrt{2+h}+\sqrt2}{ \sqrt{2+h}+\sqrt2}\\&=\frac{2+h-2}{h( \sqrt{2+h}+\sqrt2)}\\&=\frac{h}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt2)}\\&=\frac{1}{ \sqrt{2+h}+\sqrt2 }\text{ pour }h\neq0.\end{align*}$$
Ce qu’il y d’intéressant dans le fait de multiplier par l’expression conjuguée, c’est de faire apparaître au numérateur une identité remarquable de la forme :$$(a – b)(a + b) = a^2 – b^2;$$ ainsi, les racines carrées s’envolent…
On peut ainsi conclure que :$$f‘(2) = \lim\limits_{h\to0} \frac{h}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt2)} =\frac{1}{2\sqrt2}$$ que l’on obtient en remplaçant h par 0 dans l’expression du taux d’accroissement simplifiée.
Calcul d’une limite en Terminale
On considère la fonction \(g(x)=\frac{\cos x-1}{x}\). On cherche sa limite quand x tend vers 0. Si on remplace x par 0 dans l’expression de g, on arrive à une indétermination du type “\(\frac{0}{0}\)”. Tiens… ça nous rappelle quelque chose non ?
On va alors poser f(x) = cos(x), dont la dérivée est f’(x) = -sin(x). On sait par définition que:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$$donc: $$ \lim\limits_{x\to0} g(x) =\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}=-\sin(0)=0.$$
