À l’occasion de la nouvelle année qui approche, je vous propose un jeu qui m’a été inspiré directement du nombre 2020…

« Mais Stéphane, dis-moi vite les règles de ce jeu ! Je n’en peux plus d’attendre ! »

Je vous entends de chez moi dire ça, alors sans plus attendre, les voici:

On dispose d’une infinité de jetons sur lesquels sont indiqués « 0 », « 2 » ainsi que les opérations « + », « -« , « * », « / », « ^ » et des parenthèses « ( » et « ) ».

Le but du jeu est de créer une opération qui comporte alternativement des « 2 » et des »0″ séparés par des parenthèses et des opérations permises, l’opération commençant par « 2 ».

Par exemple, « (2+(0+2)/(0+2))*(0+2) » est une opération permise car elle comporte alternativement des « 2 » et des « 0 » séparés par des opérations et des parenthèses, tout en commençant par « 2 », mais son résultat n’est pas égal à 2020.

Trouver une opération qui donne pour résultat 2020.

Règles du jeu du 2020

Une solution

Comme je suis quelqu’un de très gentil, je vous propose une solution commentée.

Le premier réflexe que j’ai eu est de décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 2020; je trouve : \(2020 = 2\times2\times5\times101\). Je cherche donc à écrire les nombres « 2 » (facile celui-là !), « 5 » et « 101 » en utilisant que des « 2 » et des « 0 ». Autant « 2 » et « 5 » sont assez faciles, autant « 101 » est un peu plus long… En effet, $$101 = 1+100=1+50\times2=1+5^2\times2\times2$$. Ouf ! J’y suis ! Je n’utilise que des « 2 » et des « 5 », avec un petit « 1 » qui traîne mais qui n’est pas bien méchant car je peux le considérer comme étant le quotient de « 2 » par « 2 ».

Et tout ceci me donne alors :

(2+0)*2*(0+(2+0)/2+0+(2+0)*2)*(0+(2+0)/2+0+2*(0+2*(0+((2+0)*2+(0+2)/(0+2))^(0+2))))

Vous pouvez vérifier avec Xcas par exemple : cela donne bien 2020 ! Et les « 2 » et « 0 » sont bien alternés…

Maintenant, est-ce la meilleure façon d’obtenir 2020 avec ces règles ? Je ne demande qu’à voir alors proposez vos solutions si elles sont différentes de la mienne !

Une autre solution

Cette solution est basée sur les puissances de 2. Comme 2020 est très proche de 2048, qui est la puissance 11 de 2, je cherche d’abord à calculer 2048, puis à soustraire le nécessaire. Cela donne:

(2+0)^((2+0)*((2+0)/(2+0)+(2+0)*(2+0)))*(2+0)-(2+0)^((2+0)^2+(0+2)/(0+2))+0+2+0+2

Vous constaterez alors que cette deuxième expression admet légèrement moins de symboles que la première, mais le gain n’est pas ouf non plus… 81 contre 83 ! Alors, sur cette même logique, proposons une autre expression:

2^(0+2*(0+2*(0+2)+(0+2)))/(0+2)-(0+2)^((0+2)^(0+2)+(0+2)/(0+2))+0+2+0+2

C’est bien mieux non? Et seulement 71 symboles !

Qui pourra trouver une expression plus courte ? Je suis sûr que c’est possible…