Voici quatre exercices qui permettrons aux élèves de Terminale S de préparer leur devoir sur les nombres complexes (première partie de la leçon : l’agèbre).
À travers ces exercices, tout ce qu’il y a à savoir est résumé.
Exercice 1
On considère le polynôme complexe: $$P(z)=z^3-\text{i} z^2- \text{i}z-1- \text{i}$$
- Montrer que \(\alpha=1+ \text{i}\) est une racine de P.
- En déduire la valeur des nombres a, b et c tels que: $$P(z)=(z-\alpha)(az^2+bz+c).$$
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2+z+1=0\), puis en déduire toutes les solutions de l’équation \(P(z)=0\).
Exercice 2
On considère les deux nombres complexes: $$z_1 = 2\left[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right]\qquad\text{et}\qquad z_2=-\sqrt{2}+ \text{i} \sqrt2.$$ On pose alors: $$Z = \frac{z_1}{z_2}.$$
- Donner la forme algébrique de \(z_1\).
- Donner la forme trigonométrique, puis exponentielle de \(z_2\).
- Donner la forme algébrique de \((z_1)^6\). En déduire que pour tout entier naturel n, \((z_1)^{6n}\) est un réel.
- Calculer |Z| et déterminer un argument de Z à \(2\pi\) près.
- Déterminer la forme algébrique de Z.
- En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\).
Exercice 3
Soit z un nombre complexe quelconque. On pose alors:$$z’ = \frac{z^2+\overline{z}^2}{2}.$$
- Montrer que \(z’\in\mathbb{R}\), quel que soit le nombre complexe z.
- Comment choisir z pour que z‘ = 0 ?
Exercice 4
On pose \(z_1=\text{e}^{\text{i}\theta_1}\) et \(z_2=\text{e}^{\text{i}\theta_2}\).
- Donner la forme algébrique de \(z_1z_2\).
- Donner la forme trigonométrique de \(z_1z_2\).
- En déduire une formule permettant de calculer \(\cos(\theta_1+\theta_2)\) en fonction de \(\cos\theta_1\), \(\cos\theta_2\), \(\sin\theta_1\) et \(\sin\theta_2\).
Note
Dans la mesure où je n’ai pas fait de corrigé, si vous décidez de vous entraîner sur ces exercices, vous pouvez proposer à votre enseignant.e. (ou à toutes autre personne compétente) vos réponses.
Le sujet au format \(\LaTeX\) est disponible ci-dessous:
Merci, c’est bien fait.