Suites arithmétiques de degré d

Vous connaissez sûrement les suites arithmétiques. Mais savez-vous qu’elles font partie d’une plus grande famille ?

Suites arithmétiques de degré d: introduction

La suite des carrés parfaits

Nous allons prendre l’exemple de la suite des carrés parfaits: $$u_n=n^2$$ .

Maintenant, regardons la suite définie pour tout entier naturel n par: $$v_n=u_{n+1}-u_{n}.$$

La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison r = 2.

On dira alors que $(u_n)$ est une suite arithmétique de degré 2.

La suite des nombres pentagonaux

On peut représenter cette suite $(u_n^{(0)})$ ainsi:

On peut « décomposer » cette suite ainsi:

Cette suite est aussi une suite arithmétique de degré 2. Dans ce tableau , j’ai volontairement « poussé » jusqu’à obtenir une suite constante pour mettre en relief la raison pour laquelle le degré est 2: on a « décomposé » la suite initiale à l’aide de 2 suites, dont la dernière est constante.

Suites arithmétiques de degré d: généralités

Définition d’une suite arithmétique de degré d

Une suite numérique $(u_n^{(0)})$ est arithmétique de degré d s’il existe un ensemble de suites $\{ (u_n^{(1)}) \}, \{ (u_n^{(2)}) \}, …, \{ (u_n^{(d)}) \}$ telles que: $$\forall p \in [0 ; d-1]\cap\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n^{(p)} = u_{n-1}^{(p)}+u_{n-1}^{(p+1)}\,,$$ où $(u_n^{(d)})$ est une suite constante.

La raison d’une telle suite est la valeur de $u_0^{(d)}$.

Un autre exemple

Si on découpe un plan à l’aide de n droites, le nombre maximum de régions du plan est une suite arithmétique de degré 2 et de raison 1.

Terme général d’une suite arithmétique de degré d

Si $(u_n^{(d)})$ est une suite arithmétique de degré d et de raison r, alors: $$\forall n\in\mathbb{N},\ u_n^{(0)} = \sum_{m=0}^{d-1}\left(u_0^{(m)}P_m(n)\right)+rP_d(n)\,,$$ où la famille de polynômes $P_k(n)$ est définie par: $$\forall n\in\mathbb{N},\ \begin{cases} P_0(n)=1\\\forall k\in\mathbb{N},\ P_{k+1}(n)=\displaystyle\sum_{j=1}^nP_k(j) \end{cases}$$

La démonstration est plutôt longue mais elle est disponible dans mon livre « Ainsi de suite« , disponible gratuitement en téléchargement au format PDF. Cela se démontre par récurrence.

Conséquences

Ce dernier résultat montre que le terme général d’une suite arithmétique de degré d s’exprime comme un polynôme de degré d: $$\forall\ n\in\mathbb{N},\ u_n^{(d)} = \alpha_dn^d + \cdots + \alpha_1n + \alpha_0.$$ Pour déterminer la valeur des coefficients \(\alpha

_k\), il suffit de résoudre le système linéaire de Vandermonde suivant : $$\begin{cases}u_1^{(0)} & = & \alpha_0 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_d\\u_2^{(0)} & = & \alpha_0 + 2\alpha_1 + \cdots + 2^d\alpha_d\\\vdots & & \\u_{d+1}^{(0)} & = & \alpha_0 + (d+1)\alpha_1 + \cdots + (d+1)^d\alpha_d\end{cases}$$

Une application aux suites arithmétiques de degré d: les nombres polygonaux

Nous en avons brièvement parlé précédemment lorsque nous avons regardé la suite pentagonale.

On arrive à démontrer à l’aide du résultat précédent que: $$\forall\; p\geqslant 3,\ u_n^{(p)} = \frac{n\left(4-p+(p-2)n\right)}{2}.$$

Un peu de Python

Je vous propose un programme Python qui permet de voir si une suite est arithmétique de degré d.

def is_ardeg(liste , degre = 0):
    if len(liste) != 1:
        comp = [0] * len(liste)
        if liste == comp:
            return True , degre-1
        else:
            # on vérifie s'il y a deux éléments identiques dans la liste
            comp = [ liste[0] ] * len(liste)
            if liste != comp:
                for e in liste:
                    i = liste.index(e)
                    L = liste[:i] + liste[i+1:]
                    if e in L:
                        return False
                
            u = []
            for n in range(1,len(liste)):
                u.append( liste[n-1] - liste[n] )

            return is_ardeg(u,degre+1)
    else:
        return False , "Pas assez d'éléments pour conclure."

>>> L = [i**2 for i in range(10)]
>>> is_ardeg(L)
(True, 2)
>>> is_ardeg([1, 3, 5, 7, 8, 9, 11])
False