Le paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires est un célèbre problème mathématiques qui peut revêtir plusieurs formes. Par exemple, il peut se libeller ainsi:

Combien de personnes faut-il réunir dans une pièce pour avoir une probabilité d’au moins 50 % que deux d’entre elles aient la même date d’anniversaire ?

Nous allons répondre à cette question en utilisant au passage le langage Python.

Le paradoxe des anniversaires a été popularisé grâce aux travaux du mathématicien danois Richard von Mises au début du XXe siècle (“Probability, Statistics, and Truth”, 1928) et d’autres mathématiciens semble-t-il.

Le paradoxe a été popularisé dans le milieu académique. Il est souvent utilisé pour enseigner les concepts de probabilité et d’intuition probabiliste. Il est également un sujet intéressant de discussion et d’expérimentation dans de nombreux contextes. En effet, il montre comment les gens ont souvent du mal à estimer correctement les probabilités. En particulier, lorsqu’il s’agit de situations impliquant de grandes combinaisons possibles.

Paradoxe des anniversaires: simplification du problème à 3 personnes

Avant tout, clarifions une chose: par “date d’anniversaire”, nous devons entendre “jour d’anniversaire”. De plus, considérons qu’il y a 365 jours dans une année pour simplifier les calculs. Au diable les années bissextiles et peu nous chaut des individus nés les 29 février!…

Considérons un groupe de trois personnes; notons-les \(p_1\), \(p_2\) et \(p_3\). Déterminons la probabilité qu’au moins deux des trois personnes aient la même date d’anniversaire.

L’énoncé comporte “la probabilité qu’au moins…”; cela nous pousse à considérer l’événement contraire. En effet, il est plus simple de déterminer la probabilité qu’aucune personne n’aient la même date de naissance.

Considérons \(p_1\). La probabilité que \(p_2\) n’ait pas la même date d’anniversaire est \(\frac{364}{365}\). La probabilité que \(p_3\) n’ait pas la même date d’anniversaire que \(p_1\) et \(p_2\) est \(\frac{363}{365}\). On peut donc dire que la probabilité que ces trois personnes n’aient pas la même date d’anniversaire est:$$\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}.$$

La probabilité qui nous intéresse est donc:$$1-\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\approx0,008.$$ Autant dire que l’on est loin des 50% avec trois personnes… Mais on s’en doutais hein ?

Paradoxe des anniversaires: généralisation mathématique

Considérons désormais que plus de trois personnes sont dans une même pièce. Allez, on va dire qu’il y en a n > 3. Soyons fous!

Par un raisonnement analogue à celui utilisé précédemment, on peut dire que la probabilité cherchée est:$$p_n=1-\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times\cdots\times\frac{365-(n-1)}{365}=1-\frac{364\times363\times\cdots\times(366-n)}{365^{n-1}}.$$

Python à la rescousse

Il nous faut maintenant trouver le premier entier n pour lequel \(p_n\) est supérieure à 0,5. Rien de plus simple avec notre ami Pyth.

def proba(n):
    p = 1
    for i in range(1,n):
        p *= (365-i)/365
        
    return 1-p

n = 3
while proba(n) <= 0.5:
    print( f'Pour n={n}, la probabilité est égale à {proba(n)}.' )
    n += 1
    
print( f'Pour n={n}, la probabilité est égale à {proba(n)}.' )

Bon, là, je vous ai pondu un programme détaillé donc il paraît un peu long. Mais je voulais qu’il soit clair. On voit ainsi les étapes.

Et voici ce que ce programme nous recrache:

Pour n=3, la probabilité est égale à 0.008204165884781345.
Pour n=4, la probabilité est égale à 0.016355912466550215.
Pour n=5, la probabilité est égale à 0.02713557369979347.
Pour n=6, la probabilité est égale à 0.040462483649111425.
Pour n=7, la probabilité est égale à 0.056235703095975365.
Pour n=8, la probabilité est égale à 0.07433529235166902.
Pour n=9, la probabilité est égale à 0.09462383388916673.
Pour n=10, la probabilité est égale à 0.11694817771107768.
Pour n=11, la probabilité est égale à 0.14114137832173312.
Pour n=12, la probabilité est égale à 0.1670247888380645.
Pour n=13, la probabilité est égale à 0.19441027523242949.
Pour n=14, la probabilité est égale à 0.2231025120049731.
Pour n=15, la probabilité est égale à 0.25290131976368646.
Pour n=16, la probabilité est égale à 0.2836040052528501.
Pour n=17, la probabilité est égale à 0.3150076652965609.
Pour n=18, la probabilité est égale à 0.3469114178717896.
Pour n=19, la probabilité est égale à 0.37911852603153695.
Pour n=20, la probabilité est égale à 0.41143838358058027.
Pour n=21, la probabilité est égale à 0.443688335165206.
Pour n=22, la probabilité est égale à 0.4756953076625503.
Pour n=23, la probabilité est égale à 0.5072972343239857.

Ringo! Nous avons notre n minimal: c’est 23!

Il faut donc au minimum 23 personnes pour que la probabilité que deux d’entre elles aient la même date d’anniversaire! Dingue non ?

Ce résultat, pouvant paraître contre-intuitif, est à l’origine de la qualification de ce problème comme un paradoxe. Cependant, à mon avis, ce n’est pas à proprement parlé un paradoxe mathématique.