Voici un exercice fort intéressant qui demande de calculer la somme de racines carrées: déterminer la valeur de$$S=\sum_{k=1}^{323} E(\sqrt{k}),$$où \(E(x)\) désigne la partie entière de \(x\).
Vers la somme des racines carrées: étude préliminaire
Regardons ce qui se passe pour les premiers termes de cette somme:
| Valeurs de k | Valeurs de E(√k) |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 1 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 6 | 2 |
| 7 | 2 |
| 8 | 2 |
| 9 | 3 |
| … | … |
| 323 | 17 |
Notre somme ressemble donc à la suivante :$$S = 1+1+2+2+2+3+3+\cdots+17+17.$$ Il ne reste plus qu’à trouver le nombre de termes identiques.
Vers la somme des racines carrées: nombre de termes identiques
Quel que soit la valeur de l’entier k, $$(k+1)^2-k^2=2k+1.$$Ainsi,
- entre 1² et 2², il y a 2×1 + 1 = 3 nombres entiers;
- entre 2² et 3², il y a 2×2 + 1 = 5 nombres entiers;
- etc.
Notre somme peut alors s’écrire:$$S = \sum_{k=1}^{17} k \times (2k+1).$$
Calcul de la somme des racines carrées
Rappelons les formules suivantes:$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$et$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
On peut alors écrire:$$\begin{align}S & = \sum_{k=1}^{17} k \times (2k+1) \\ & = 2\sum_{k=1}^{17} k^2 + \sum_{k=1}^{17} k\\ & = 2 \times \frac{17 \times 18 \times 35}{6} + \frac{17 \times 18}{2}\\ & = 3723. \end{align}$$
Si l’on est peu sûr de soit, on peut vérifier en Python:
>>> sum( [ int(i**0.5) for i in range(1,324) ] )
3723Je rappelle que ” i**0.5 ” désigne la racine carrée de i (si on ne souhaite pas importer la fonction “sqrt” du module “math”.
Généralisation
Maintenant que nous avons compris le fonctionnement d’une telle somme, rien ne nous empêche de déterminer l’expression de la somme: $$S=\sum_{k=1}^{n^2-1}E\big( \sqrt{k} \big).$$
En effet, sur le modèle de ce qui a été fait précédemment, on peut écrire que:$$\begin{align} S & = \sum_{k=1}^{n-1} k(2k+1) \\ & = 2\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k \\ & = \frac{n(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n(n-1)}{2}\\&=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}. \end{align}$$
Nous venons alors de démontrer la magnifique formule:$$\boxed{ \sum_{k=1}^{n^2-1}E\big( \sqrt{k} \big) = \frac{n(n-1)(4n+1)}{6}}$$
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