La formule de Viète sur les polynômes

La formule de Viète sur les polynômes nous donne la valeur de la somme des racines complexes d’un polynôme. Cette somme est l’opposée du quotient de deux coefficients consécutifs du polynôme; elle est donc réelle. Regardons cela de plus près…

Cet article est accessible aux élèves de lycée dès la classe de Terminale.

Formule de Viète: histoire du bonhomme

François Viète est un mathématicien français du XVIème siècle. Il est né en 1540 alors que François 1er était encore sur le trône (no comment). Ce dernier quitta le trône à sa mort, en 1547, pour laisser la place à Henri II.

Le petit Henri ne resta pas longtemps car il mourut en 1560, laissant sa place à Charles IX. Pas pour très longtemps car peu de temps après, ce fut au tour d’Henri III, puis d’Henri IV : voir la chronologie des rois de France.

Pourquoi diable vous parle-je des rois ? Et bien parce que François Viète fut très proche de la royauté. En effet, il fut :

• conseiller de Charles IX;
• maître des requêtes ordinaires de l’hôtel du roi sous Henri III;
• maître des requêtes et déchiffreur de Henri IV.

Parallèlement (sans jeu de mot) à sa carrière politique, François Viète fut mathématicien amateur… Mais pas si amateur que ça!

En effet, entre autre, il annonce l’incommensurabilité de \(\pi\) (qui ne fut prouvée qu’au XVIIIème siècle) et qu’il avance la formule:$$\pi=2\times\frac{2}{\sqrt2}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\times\cdots$$Balaise pour un politicard non ?

Mais bon ! Ce n’est pas la formule qui nous intéresse ici… Et oui ! François a plus d’une corde à son arc (de cercle)…

En route vers la formule de Viète sur les polynômes

Un polynôme de degré n est une expression de la forme:$$P(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.$$Par exemple, $$P(x)=5x^3-3x^2+2x-1$$est un polynôme de degré 3.

Une racine d’un polynôme est une valeur r telle que P(r)=0. Par exemple, r = 1 est une racine du polynôme P(x) = x² – 2x + 1 = (x – 1)².

Vous savez ce que sont les nombres complexes ? Ce sont des nombres qui s’écrivent sous la forme a + ib, où i² = -1. Ce sont des nombres imaginaires.

La formule de Viète nous dit que la somme des racines complexes du polynôme P est égale à \(-\frac{a_{n-1}}{a_n}\).

Démonstration

La démonstration de cette formule est assez simple si l’on connaît le théorème de Gauss stipulant que tout polynôme de degré n admet exactement n racines complexes. Ainsi, tout polynôme de degré n peut se factoriser sous la forme : $$P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots(x-r_{n-1})(x-r_n)$$ où \(r_1,\ r_2,\ \ldots,\ r_n\) représentent les n racines complexes du polynôme.

En développant partiellement la forme factorisée, on obtient:$$P(x)=a_nx^n-a_n(r_1+r_2+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^na_nr_1r_2\cdots r_n.$$Par identification avec la forme développée:$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$les coefficients des \(x^{n-1}\) doivent être égaux, et donc:$$a_{n-1}=-a_n(r_1+r_2+\cdots+r_n)$$ce qui donne:$$r_1+r_2+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$

On peut même affirmer de la même façon que:$$a_0=(-1)^na_nr_1r_2\cdots r_n$$soit:$$r_1r_2\cdots r_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}.$$

Voilà ! Ce n’était pas si compliqué que ça au final…

Un exemple pour la route…

Considérons le polynôme:$$P(x)=x^4+x^3-x^2+x-2.$$

Ici,$$-\frac{a_{n-1}}{a_n}=-1$$donc la somme des quatre racines complexes de P est égale à -1.

On peut le vérifier en constatant que x = 1 est une racine évidente de P. On peut ainsi factoriser P(x) par (x– 1), ce qui donne:$$P(x)=(x-1)(x^3+2x^2+x+2).$$

Un œil aiguisé peut aussi voir que x = i est aussi une racine évidente. En effet, $$\text{i}^3+2\text{i}^2+\text{i}+2=-\text{i}-2+\text{i}+2=0.$$Ainsi, on peut factoriser par (x – i), ce qui donne:$$P(x)=(x-1)(x-\text{i})(x^2+(2+\text{i})x+2\text{i}).$$Comme “i” est une racine de P, son conjugué aussi: x = -i est donc une racine de P. En factorisant par (x + i), on obtient finalement:$$P(x)=(x-\text{i})(x+\text{i})(x-1)(x+2).$$

La somme des racines est donc:$$\text{i}+(-\text{i})+1+(-2)=-1.$$C’est bien ce que l’on avait annoncé à l’aide de la formule de Viète.

À quoi sert la formule de Viète ?

Polynôme de degré 2

Dans le cas particulier d’un polynôme de degré 2:$$P(x)=ax^2+bx+c,$$la formule de Viète stipule que:$$\begin{cases}x_1+x_2 & =-\frac{b}{a}\\x_1 x_2 & = \frac{c}{a}\end{cases}$$

Ainsi, si nous avons la chance de connaître une racine, nous pouvons déterminer l’autre à l’aide de l’une de ces deux égalités.

Par exemple, le polynôme:$$P(x)=3x^2-5x+2$$admet pour racine évidente x = 1 (car la somme des coefficients est nulle). Ainsi, en utilisant la deuxième égalité (celle du produit), on obtient pour seconde racine :\(x=\frac{2}{3}\). Inutile de sortir le bazooka pour tuer la mouche ! Ici, inutile de calculer le discriminant de P.

Retrouvez des exercices corrigés sur le second degré, et plus encore, dans le recueil d’exercices de 1ère sur cette page.

Polynôme de degré 3

On peut imaginer un scénario identique pour le degré 3. Considérons le polynôme:$$P(x)=3x^3-2x^2-3x+2.$$

La somme des coefficients étant nulle, x = 1 est une racine évidente.

Les coefficients des termes de degrés impairs étant opposés (3 et -2 d’une part, -2 et 2 d’autre part), x = -1 est aussi une racine évidente.

D’après la formule de Viète, la somme des racines est égale à \(\frac{2}{3}\), et comme la somme des deux premières racines est nulle, cela signifie que la troisième racine est \(\frac{2}{3}\).

C’est pas top-moumoute tout ça ? 🙂

Vers la théorie de Galois

La formule de Viète peut être généralisée, en fonction des résultats obtenus dans la démonstration précédente, à:$$\sum_{1\leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_p\leqslant n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_p} = (-1)^p\frac{a_{n-p}}{a_n}$$où \(x_1\) , … , \(x_n\) représentent les n racines du polynôme.

Par exemple, pour un polynôme de degré 3:$$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$on a :$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3 & = -\frac{b}{a}\\x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 & = \frac{c}{a}\\ x_1x_2x_3 & = -\frac{d}{a} \end{cases}$$

Ces égalités jouent un rôle important dans la théorie de Galois. Mais ça, c’est une autre histoire…