Un abonné de mathweb.fr m’a demandé un jour si je pouvais l’aider à démontrer par récurrence que$$P_n(x)=(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$$était divisible par$$Q(x)=x^2+x+1$$quel que soit l’entier naturel \(n\).
J’ai essayé et j’avoue m’être confronté à une difficulté que je n’avais pas mesurée. Je me suis alors demandé pourquoi s’acharner à démontrer par récurrence un résultat aussi simple à démontrer autrement…
À l’aide des nombres complexes
\(Q(x)\) admet deux racines complexes, que l’on note \(j=\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\) et \(\overline{j}\). Ainsi,$$j^2+j+1=0$$et donc:$$j+1=-j^2.$$De plus, $$j^3 = 1.$$Ainsi,$$\begin{align}P_n(j) & = (j+1)^{2n+1} + j^{n+2}\\&=(-j^2)^{2n+1}+j^{n+2}\\&=(-1)^{2n+1}j^{4n+2}+j^{n+2}\\&=j^{n+2}(1-j^{3n})\\&=j^{n+2}(1-(j^3)^n)\\&=0.\end{align}$$De plus, $$P_n(\overline{j})=\overline{P_n(j)}=0.$$
On vient alors de démontrer que:$$P_n(j)=P_n(\overline{j})=0$$et donc que \(P_n(x)\) est divisible par \((x-j)(x-\overline{j})=Q(x)\) pour tout réel \(x\).
