En 1ère spécialité Mathématiques, les élèves abordent la notion de produit scalaire de deux vecteurs, notions plutôt abstraite au premier abord. À l’aide du produit scalaire, on peut démontrer des propriétés géométriques importantes, comme la loi des sinus ou encore le théorème d’Al-Kashi, aussi connu sous le nom de loi des cosinus.

Nous allons voir dans cet article que ces deux résultats nous permettent de trouver la solution à un problème posé lors d’un concours mathématique.

Le problème

Le point D appartient au côté [BC] du triangle ABC, tel que AD = 10.

On sait que AB = 2AC.

Trouver la longueur BC.

Une solution

Utilisation de la loi des sinus

Nous allons nous placer dans un premier temps dans le triangle DCA afin d’utiliser la loi des sinus pour écrire:$$\frac{DC}{\sin60^\circ}=\frac{AC}{\sin\widehat{CDA}}.$$Dans le triangle DBA, cette loi donne:$$\frac{DB}{\sin60^\circ}=\frac{AB}{\sin(180-\widehat{CDA})}$$c’est-à-dire: $$\frac{DB}{\sin60^\circ}=\frac{2AC}{\sin(\widehat{CDA})}$$car \(\sin(180-x)=\sin(x)\).

On peut alors écrire:$$\frac{BD}{DC}= \frac{\sin60^\circ\frac{2AC}{\sin\widehat{CDA}}}{\sin60^\circ\frac{AC}{\sin\widehat{CDA}}}=2.$$

Utilisation de la loi des cosinus

Maintenant, dans les triangles ADC et ADB, utilisons le théorème d’Al-Kashi:$$\begin{cases}DC^2 & = AC^2 + 100^2 – 200AC\cos60^\circ\\DB^2 & =AB^2 + 100^2 – 200AB\cos60^\circ \end{cases}$$c’est-à-dire: $$\begin{cases}DC^2 & = AC^2 + 10000 – 100AC\\4DC^2 & =4AC^2 + 10000 – 200AC \end{cases}$$ou encore, en multipliant par 4 la première égalité: $$\begin{cases}4DC^2 & = 4AC^2 + 40000 – 100AC\\4DC^2 & =4AC^2 + 10000 – 200AC \end{cases}$$ En soustrayant ces deux égalités, on obtient:$$AC=150$$et donc:$$DC^2=AC^2+10000-100AC=17500$$soit:$$AC=\sqrt{17500}=50\sqrt7.$$On en déduit alors que:$$BC=3DC=150\sqrt7.$$

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