Mathématiques

Le théorème de Pick

On considère un polygone convexe, c’est-à-dire une figure géométrique constituée de plusieurs côtés rectilignes de sorte qu’aucun sommet ne “rentre”  dans la figure, sur un maillage régulier de sorte que chaque sommet soit sur un nœud de ce maillage comme l’illustre le schéma ci-dessous.

Le théorème de Pick stipule que la superficie du polygone peut être calculée de façon simple à l’aide de la formule :  \[ \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1\]
exprimée en unités d’aire, où “i” représente le nombre de nœuds intérieurs au polygone et “b” celui des nœuds se trouvant sur ses côtés.

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Par Stéphane Pasquet, il y a
méthode de Hörner

La méthode de Hörner

La méthode de Hörner va nous permettre de trouver les coefficients du polynôme Q tel que : \[P(x)=(x-a)Q(x)\] où P est un polynôme dont une racine est égale à a.

Bien entendu, il existe d’autres méthodes, comme la division euclidienne de polynômes ou encore la méthode des coefficients indéterminés, mais nous allons voir que la méthode de Hörner a deux avantages sur les autres : sa rapidité et le fait que l’on puisse la programmer aisément.

méthode de Hörner
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Par Stéphane Pasquet, il y a

Les différentes moyennes

EDF souhaite augmenter ses tarifs de 30 % sur 5 ans, soit une augmentation moyenne de 6 % par an.

C’est à peu près ce que j’ai pu entendre il y a quelques années sur beaucoup de chaînes de télévision de la part de certains journalistes. Et cela m’a un peu fait mal aux oreilles car ce n’est pas correct, et pour s’en rendre compte, il est nécessaire de revenir sur la notion de moyenne…

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Par Stéphane Pasquet, il y a

L’existence de Pi

À l’école primaire, les élèves prennent connaissance de l’existence d’un nombre mystérieux nommé “Pi” et noté par la lettre grecque “\(\pi\)” par Archimède, en rapport avec l’initiale du mot  “\(\pi\varepsilon\rho\iota\mu\varepsilon\tau\rho o\zeta\)” (“périmètre” en français).

À ce stade de l’apprentissage, les professeurs des écoles disent que la valeur de Pi est 3,14 et j’espère qu’ils ajoutent que ce n’est qu’une valeur approchée de ce nombre qui admet une partie décimale infinie. D’ailleurs, tout nombre qui ne peut pas s’écrire entièrement est désigné par une lettre ou autre chose de “rapide à écrire” et c’est la raison pour laquelle Pi est désigné par une lettre : on ne peut pas l’écrire en entier.

On définit le nombre \(\pi\) comme étant le rapport constant entre le périmètre d’un cercle et son diamètre (il faut entendre ici : dans le plan euclidien). Mais pourquoi ce rapport est-il constant ? Comment a-t-on pu démontrer que \(\pi\) existait ? Nous allons le voir ici …

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Par Stéphane Pasquet, il y a
equation degré 3

Équations polynomiales de degré 3

Les équations polynomiales de degré 3 sont de la forme : \[  ax^3+bx^2+cx+d=0.\qquad(1) \]

Ce dont nous pouvons être assuré.e.s, c’est qu’elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction : \[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

est continue sur \(\mathbb{R}\) et, de plus, \[ \left\{ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\text{sgn}(-a)\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\text{sgn}(a)\infty\end{array}\right.\]

où \(\text{sgn}(a)\) désigne le signe de a.

Ainsi, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution sur \(\mathbb{R}\).

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Par Stéphane Pasquet, il y a

Circonscrire un polygone : la constante de Kasner-Newman

Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[ R=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots} \]
que l’on peut aussi écrire : \[ R=\prod_{n\geq3}\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.\]

Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement :

  1. un cercle de rayon r;
  2. le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle;
  3. le cercle circonscrit au triangle équilatéral;
  4. le carré circonscrit au dernier cercle;
  5. le cercle circonscrit au carré;
  6. le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle;
  7. le cercle circonscrit au pentagone;
  8. l’hexagone circonscrit au dernier cercle;
  9. etc.

En observant le rayon des cercles, on s’aperçoit que l’on se rapproche de plus en plus d’une valeur proportionnelle à R (définie précédemment).

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Par Stéphane Pasquet, il y a