Python : algorithme de seuil - Mathweb.fr

Un algorithme de seuil est un algorithme ayant pour objectif de trouver le premier entier $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ satisfont une condition imposée.

Exemple 1 : suite définie de façon explicite

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel n par l’égalité: $u_n=\frac{n^2+3x+5}{n^2+1}.$ On cherche le premier entier $n_0$ à partir duquel $u_n \leqslant 1,1$ .

Le programme suivant peut alors être considéré:

# on définit une fonction u(n) qui retourne la valeur de u(n)

def u(n):

return (n*n + 3*n + 5) / (n*n + 1)

# ici commence le programme de seuil

n = 0

while u(n) > 1.1:

n = n + 1

print("Le premier entier 'n' tel que u(n) <= 1.1 est : {}".format(n))

# on définit une fonction u(n) qui retourne la valeur de u(n) def u(n): return (n*n + 3*n + 5) / (n*n + 1) # ici commence le programme de seuil n = 0 while u(n) > 1.1: n = n + 1 print("Le premier entier 'n' tel que u(n) <= 1.1 est : {}".format(n))

# on définit une fonction u(n) qui retourne la valeur de u(n)
def u(n):
    return (n*n + 3*n + 5) / (n*n + 1)

# ici commence le programme de seuil
n = 0
while u(n) > 1.1:
    n = n + 1
    
print("Le premier entier 'n' tel que u(n) <= 1.1 est : {}".format(n))

Ce programme affiche la valeur 32 car $u_{31}\approx1.1008>1.1$ (donc la condition de la boucle while est vraie, ce qui a pour conséquence d’entrer dans la boucle et d’ajouter 1 à n), et comme $u_{32}\approx 1.09756<1.1$ , la condition de la boucle while n’est plus satisfaite, ce qui fait que l’on sort de la boucle. La valeur stockée dans n est donc 32.

Exemple 2 : suite définie par récurrence

On considère la suite $(v_n)$ définie par son premier terme $v_0=7$ et par la relation de récurrence: $v_{n+1}=\frac{1}{2}\left(v_n+\frac{5}{v_n}\right)$ pour tout entier naturel n.

Déterminons le premier indice à partir duquel $v_n \leqslant 2.24$ . On utilise alors le programme suivant:

# on commence par initialiser les variables

n = 0

v = 7

# ici commence le programme de seuil

while v > 2.24:

n = n + 1 # l'indice du terme est incrémenté de 1

v = 0.5 * (v + 5 / v) # on utilise la relation de récurrence pour calculer le terme suivant

print(v)

print("Le premier entier 'n' tel que v(n) <= 2.24 est : {}".format(n))

# on commence par initialiser les variables n = 0 v = 7 # ici commence le programme de seuil while v > 2.24: n = n + 1 # l'indice du terme est incrémenté de 1 v = 0.5 * (v + 5 / v) # on utilise la relation de récurrence pour calculer le terme suivant print(v) print("Le premier entier 'n' tel que v(n) <= 2.24 est : {}".format(n))

 # on commence par initialiser les variables
n = 0
v = 7

# ici commence le programme de seuil
while v > 2.24:
    n = n + 1 # l'indice du terme est incrémenté de 1
    v = 0.5 * (v + 5 / v) # on utilise la relation de récurrence pour calculer le terme suivant
    print(v)
    
print("Le premier entier 'n' tel que v(n) <= 2.24 est : {}".format(n))

Il affiche la valeur 4. En effet, $v_3\approx 2.26 > 2.24$ alors que $v_4\approx 2.236$ .

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